今回は、確率をテーマにした頭の体操を２つ出題します。
「確率」や「期待値」という私の大好きなテーマです。
学生時代から変わらず、数字が好きなんですよね～。
そして、この２つの問題は、似たような問題にもかかわらず、考え方や答えは大きく異なります。
そこが大変面白い問題です。
今回は論理的思考力を鍛える33の思考実験からの出題です。
封筒の問題１－問題－
ある男があなたの前に２つの封筒を差し出しました。
２つの封筒は見た目ではまったう違いがなく、触れてみても見分けはつきません。
男は言いました。
「２つのうちどちらかの封筒をあげましょう。封筒の中には紙が入っており、その紙には数字が書かれています。
１つの封筒に入っている紙は、もう１つの封筒に入っている紙の２倍の数字が書かれています。
描かれている数字の分だけお金を受け取ることができますよ」
あなたはまったく見分けがつかない２つの封筒から１つを選びました。
すると男は言いました。
「そちらでいいですか？
では、その封筒の中身を開いてください。
おや、２万円と書かれていますね。
さて、もう１つの封筒に取り替えてもいいですよ？」
と言われました。
封筒を交換した方が得でしょうか？
「得」というのは、ひっかけや言葉のあやではなく、
２万円よりも期待値が高くなるか？
という意味ですね。
あなたなら、封筒を交換しますか？
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ここで、一度考えてみてください。
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答えは決まりましたか？
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本当にそちらでいいですか？
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ファイナルアンサー？
＝
では答えにいきましょう。
封筒の問題１－答え－
正解は、「取り替えた方が得」です。
封筒を開いた結果、自分の手元の封筒は２万円と確定しました。
「１つの封筒に入っている紙は、もう１つの封筒に入っている紙の２倍の数字が書かれています。」
と言われているので、もう一方の封筒に書かれている数字は、４万円か１万円、ということになります。
「２倍か半分なんだから、期待値は一緒じゃない？」と思いがちですが、期待値は異なります。
もう一方の封筒の期待値は、（４万＋１万）÷２＝２万５千円です。
・交換しない場合→確実に２万円
・交換した場合→４万円の場合と１万円の場合がある。平均すれば２万５千円。
となりますので、「交換した方が得」と言えるのです。
封筒の問題２－問題－
ある男があなたの前に２つの封筒を差し出しました。
２つの封筒は見た目ではまったう違いがなく、触れてみても見分けはつきません。
男は言いました。
「２つのうちどちらかの封筒をあげましょう。封筒の中には紙が入っており、その紙には数字が書かれています。
１つの封筒に入っている紙は、もう１つの封筒に入っている紙の２倍の数字が書かれています。
描かれている数字の分だけお金を受け取ることができますよ」
あなたはまったく見分けがつかない２つの封筒から１つを選びました。
すると男は言いました。
「そちらでいいですか？
もう１つの封筒に取り替えてもいいですよ？」
と言われました。
封筒を交換した方が得でしょうか？
＝＝＝＝＝
封筒の問題１では、自分が選んだ封筒が２万円と分かってから決定・交換を迫られました。
こちらの問題では、自分の選んだ封筒は開封しておらず、いくらか分かっていない状態で、決定・交換を迫られています。
そこが封筒の問題１との唯一の違いです。
さて、封筒を交換した方が得でしょうか？
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封筒の問題１と同じく、「交換する」が得だとしたら、交換した後に、再度「もう１回変えてもいいですよ」と言われたらどうしましょう？
もう１回封筒を交換した方が得でしょうか？
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答えは決まりましたか？
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悔いはないですか？
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２倍になるかもしれませんよ？
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ファイナルアンサー？
＝
封筒の問題２－答え－
正解は、「交換してもしなくても、同じ（期待値は一緒）」です。
「交換した方が得」「交換しない方が得」、どちらもハズレなので、ちょっとヒッカケのいやらしい問題でした。
なお、問題１と同じように考えてしまうと、「交換した方が得」と思ってしまいますね。
しかし、今回の問題は、どちらの金額も確定しておらず、「どちらかが２倍」という状態です。
つまり、「どちらかの封筒に２倍券が入っている」と思えば、その確率はどちらも２分の１。
交換しても、交換しなくても、損も得もない、５０％の運勝負です。
まとめ
全く同じような問題なのに、「封筒を開けて中身を見たかどうか」で、「交換した方が得」「交換してもしなくても変わらない」と、答えが変化する、とても面白い問題でした。
数字使った頭の体操は、楽しいですね！
それでは！また！